Una breve historia sobre los conjuntos de Cantor y los números de Liouville

Conferencia 5 (2018)

Mat. Jonathan Ortiz Castro

(Departamento de Formación Básica, Escuela Politécnica Nacional, EPN)

Título: Una breve historia sobre los conjuntos de Cantor y los números de Liouville.

Lugar: Carrera de Matemática, Proyecto de Facultad de Ciencias, UCE.

Fecha: Jueves 27 de septiembre de 2018.

Horario: 10h00 - 13h00.

Resumen: En 1873 George Cantor construye un conjunto dotado de propiedades que contradicen la intuición pues ejemplifica el concepto de conjunto perfecto y nada denso simultáneamente. En esta charla se presenta la motivación y las generalizaciones del conjunto triádico de Cantor. Además, se presenta un estudio de diferentes tipos de números reales que existen y se ilustra una manera constructiva de probar la existencia de un conjunto de Cantor formado solo por números de Liouville y otro conjunto de Cantor formado solo por números diofantinos. Las demostraciones de los principales teoremas que conforman la charla se probaron en la referencia [1].

[1] Borys Álvarez-Samaniego, Wilson P. Álvarez-Samaniego y Jonathan Ortiz-Castro, Some existence results on Cantor sets, Journal of the Egyptian Mathematical Society (Elsevier B.V., ISSN: 1110-256X, Reino Unido) 25 (2017), No. 3, 326-330.

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La plaga de las funciones continuas en ningún punto diferenciables

Conferencia 4 (2018)

Mat. Edison Sandoval

(Universidad Central del Ecuador, UCE)

Título: La plaga de las funciones continuas en ningún punto diferenciables.
Lugar: Carrera de Matemática, Proyecto de Facultad de Ciencias, UCE.
Fecha: Jueves 13 de septiembre de 2018.
Horario: 10h00 - 13h00.

Resumen: Algunos matemáticos a inicios del siglo XIX, con el conocimiento teórico que se disponía en ese entonces, intentaron demostrar que una función continua no poseía primera derivada finita en un conjunto singular de puntos, tal es el caso de André Marie Ampère. En esta charla se presentan algunos antecedentes históricos relacionados con el espacio ND([a, b]) de las funciones continuas que no poseen derivada finita en todo punto de su dominio y además se exponen ciertos ejemplos peculiares encontrados durante el siglo XIX. Luego, se presenta un estudio de la continuidad, derivabilidad, rectificabilidad y se calcula el área bajo la curva de la función de Bolzano, la cual se considera que fue descrita aproximadamente en 1830. Asimismo, con la finalidad de responder la pregunta ¿Qué tan grande es el espacio ND([a, b]) dentro de C([a, b])?, se analiza el espacio ND([a, b]) desde el punto de vista topológico, a través del concepto de categoría, y se lo examina además desde el punto de vista de la Teoría de la Medida usando el concepto de prevalencia.

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Compactos numerables: el origen de los números ordinales transfinitos

Conferencia 3 (2018)

Mat. Andrés Merino M.Sc.

(Escuela de Ciencias Físicas y Matemática, Pontificia Universidad Católica del Ecuador, PUCE)

Título: Compactos numerables: el origen de los números ordinales transfinitos.

Lugar: Carrera de Matemática, Proyecto de Facultad de Ciencias, UCE.

Fecha: Jueves 06 de septiembre de 2018.​

Horario: 10h00 - 12h00.

Resumen: A finales de los años 1800, George Cantor plantea la idea de derivado de un conjunto, a partir de la cual, nace de manera natural la idea de números ordinales tranfinitos. En esta charla se presentan varias perspectivas para el inicio del estudio de los números ordinales, exponiendo las ideas intuitivas de algunas demostraciones concernientes a estos. Además, se presentan algunos resultados referentes a la primitiva asociada a la derivada transfinita de conjuntos compactos numerables, los mismos que fueron demostrados conjuntamente con Borys Álvarez-Samaniego en: A primitive associated to the Cantor-Bendixson derivative on the real line, Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications 41 (2016), No. 1, 1-33.

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